Luce che ha subito diffusione

Un altra parte della luce incidente sulle particelle che si trovano lungo la linea di vista di un osservatore del cielo comprende tutta quella luce che proveniva originariamente dalla stessa sorgente ma che è stata diffusa più volte successivamente. Abbiamo chiamato questo processo diffusione multipla. Lo studio dell'effetto di diffusioni multiple è piuttosto complicato a causa di numerosi fattori fisici e geometrici che intervengno. È proprio la stima di questa parte della luce incidente che rende difficile la costruzione di modelli teorici per la propagazione dell'inquinamento luminososiano veramente accurati.

Possiamo fare una semplice stima dell'effetto di una diffusione seguendo il metodo suggerito da Treanor (1972) . Chiamiamo S la città sorgente di luce e P la particella situata lungo la linea di vista che invia all'osservatore parte della luce incidente, come illustrato nella figura 2.38.

Figure 2.38: Illuminamento di un volume di atmosfera da luce diretta e da luce diffusa una volta.

Se si suppone che le particelle che producono la diffusione diffondano la luce in un cono di apertura $\phi$, allora solo quelle particelle contenute nella figura di rotazione generata dalla rotazione dell'arco sotteso tra S e P di apertura $\phi$ saranno in grado di inviare luce a P. Dividendo tale figura di rotazione in elementi perpendicolari alla linea S-P, di spessore infinitesimo dx, di sezione circolare, e aventi area $\epsilon$, ognuno di questi elementi invierà luce su P in proporzione al numero di particelle contenute nel volume $\epsilon dx$, alla sezione d'urto integrata $\sigma$ ed alla luce incidente $i=\frac{I_{s}}{x^{2}}e^{-kx}$. Qui d è la distanza tra P e S, x la distanza tra la particella considerata ed S, e^-kx è il fattore che tiene conto dell'effetto dell'estinzione  descritto nella precedente sezione, I_s è l'intensità della luce emessa dalla sorgente e N è il numero di particelle per unità di volume. Il flusso per unità di superficie (illuminamento) in P sarà allora:  $$i=\int^{P}_{S}\left[ \frac{I_{s}}{x^{2}}e^{-kx}\right]\sigma N \epsilon \left[ \frac{e^{-k(d-x)}}{(d-x)^{2}}\right] dx$$

(35)

ove il secondo termine tra parentesi tiene conto dell'estinzione della luce nel percorso tra P ed il volume $\epsilon dx$ e il primo termine dell'estinzione tra lo stesso volume ed S. Con un poco di geometria si trova che : $$\epsilon=\pi \theta^{2}\frac{x^{2}(d-x)^{2}}{d^{2}}$$

(36)

che inserita nella (2.35) ed integrata fornisce (Treanor 1973) :  $$i=\overline{\sigma} N \pi\theta^{2}I_{s}\frac{e^{-kd}}{d}$$

(37)

Si può tener conto di altri fattori nel calcolare l'integrale precedente, quale, ad esempio, la variazione del numero di particelle di aerosol con l'altezza.