Relazione Brillanza-Distanza

La brillanza del cielo causata da una città, ad una certa distanza angolare z dallo zenith, varia con la distanza dalla città.

Walker (1977) ha misurato la differenza Q tra la brillanza del cielo a 45truept $\circ$dallo zenith, in direzione di una città e nella direzione opposta, per diverse distanze dalla città americana di Salinas (68600 abitanti). I valori di Q ottenuti sono ben rappresentati in funzione della distanza D dalla legge : $$Q\propto D^{-2.5}$$

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Bertiau, de Graeve e Treanor (1973) hanno misurato nel 1971 la brillanza del cielo allo zenith a diverse distanze dalle città di Roma (2600000 abitanti), L'Aquila (61000 abitanti) e Teramo (48000 abitanti). Essi sono riusciti ad ottenere un buon accordo con le osservazioni per tutte e tre le città applicando una legge di propagazione  ottenuta da Treanor (1973) con un semplice modello tenendo conto di una doppia diffusione in un modo simile a quello illustrato nella sezione 2.4.2: $$S=a P \left( \frac{1.8}{D}+\frac{13.5}{D^{2}}\right) ~e^{-0.026 D}$$

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ove D è la distanza dalla sorgente di inquinamento luminosokm, P la popolazione in unità di 10⁵ , a è un coefficiente di sviluppo economico, da essi introdotto, che per Roma vale 1, ed S è in unità della brillanza naturale del cielo. Essi utilizzarono questa legge per calcolare la brillanza del cielo prevista nel nostro Paese (Bertiau et al.1973). I loro risultati sono illustrati nella figura 4.1 a pagina . Walker (1977) provò ad applicare la legge di Bertiau, de Graeve e Treanor (1973) alle sue osservazioni di Salinas ed ottenne un generale accordo con i valori sperimentali fatta eccezione per l'intervallo 24-35 km. Occorre tener presente però che la legge si riferisce alla brillanza allo zenith mentre le osservazioni di Walker si riferiscono alla differenza fra le brillanze a 45truept $\circ$ verso la città e dalla parte opposta. Quindi non ci si può aspettare nulla di più di un accordo approssimativo.

Un espressione simile a quella di Bertiau, de Graeve e Treanor (1973) è stata proposta da)  Berry (1976): $$S = a_{1}P\left(\frac{a_{2}}{D^{2}+a_{3}^{2}}+\frac{a_{4}} {\sqrt{D^{2}+a_{3}^{2}}}\right)e^{-a_{5}\sqrt{D^{2}+a_{3}^{2}}}$$

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ove a₁ , a₂ , a₃ , a₄ e a₅ sono costanti, P è la popolazione, D la distanza e la brillanza S va misurata in S10 (si veda il capitolo sulle unità di misura). Modelli più complessi (Garstang 1986) mostrano che la brillanza del cielo allo zenith decresce con la distanza in modo non lineare. Se si scrive $$S=S_{0}~P D^{\alpha}$$

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si trova che il coefficiente $\alpha$ diventa più negativo al crescere della distanza e, per città molto popolate capaci di inviare luce anche molto lontano, può arrivare anche ad $\alpha\sim-4$. L'esponente $\alpha$ diventa più negativo anche al crescere della percentuale di aerosoli  rispetto alle molecole, cioè al diminuire della limpidezza dell'aria.

Garstang (1989) ha mostrato come l'effetto della curvatura della superficie terrestre non è trascurabile per distanze oltre i 50 km e fa si che la brillanza dovuta alle grandi città molto distanti decresca più di quanto accadrebbe se la terra fosse piatta. Alla distanza di 50 km la differenza nella brillanza vicino allo zenith tra i risultati di modelli che tengano conto o meno della curvatura terrestre è del 2% circa.

L'effetto della foschia e, in generale, l'effetto di un aumento della quantità di aerosoli  consiste nell'aumentare la brillanza del cielo allo zenith nelle vicinanze delle sorgenti di inquinamento luminoso effetto dell'aumento della diffusione. Tuttavia la brillanza decresce in luoghi situati sufficientemente lontano dalle sorgenti per effetto dell'aumento dell'estinzione .